Z², dA ist Iy, y.

So, jetzt kann ich die Gleichung noch mal hinschreiben.

Also n ist gleich C1 mal A.

Das ist dieser Ausdruck. So, die statischen Momente verschwinden jeweils.

Ist gleich Null. Daraus folgt, dass das C1 offensichtlich Null ist, da die Querschnittsfläche ja nicht verschwindet.

So, damit kann ich jetzt C1, diese Terme jeweils schon wegschmeißen hier.

Allerdings werden die ohnehin rausfallen wegen des y-DAs.

Und ZDAs, also der statischen Moment.

Und es bleibt übrig eine Gleichung.

Minus Mz ist gleich Minus C2 mal Iyz.

Dieser gemischte Term hier, das ist das Deviationsmoment, allerdings mit dem Minuszeichen.

Aufgrund der Definition, Minus Iyz, also Minus das Integral Yz ist gleich Iyz.

Also steht hier Minus plus C3 das Izz.

Das ist dieser Term. Und dann habe ich hier das My noch.

Das ist C2 mal Iyy minus C3 Izz.

Gut, das sind jetzt da unten zwei Gleichungen für die beiden unbekannten Konstanten.

Die habe ich ja noch nicht. Also C2 und C3 muss ich noch bestimmen.

Aber das lässt sich leicht auflösen.

Ich bekomme heraus, C2 ist My mal Izz minus Mz mal Iyz.

Geteilt durch Iyy mal Izz minus Iyz².

Und das C3 ist gleich Minus hier an der Stelle Mz Iyy minus My Iyz geteilt durch den gleichen Nenner in dieser Form.

Gut, also kann ich das einfach die beiden Konstanten bestimmen.

Und damit kann ich auch die Spannungsverteilung angeben.

Sigma x hängt jetzt von x, y und z im Allgemeinen ab.

Und das kann ich ja schreiben. Das C2 war hier mit dem Faktor z.

Und jetzt schreibe ich es einfach aus.

My von x, das kann ja veränderlich sein.

Mal Izz minus das Mz von x mal das Deviationsmoment geteilt durch diesen Ausdruck Iyy Izz minus Iyz².

Mz mal z minus dieses Vorzeichen hier Mz von x Iyy.

Erst das My von x mal Iyz.

Schön symmetrischer Ausdruck. Mal Y nicht vergessen.

Das hängt also von dem X ab, weil die Biegemomente als veränderlich mit X angesehen werden.

Und über der Höhe und Breite sozusagen mit z und y linear.

Jetzt sieht man den Vorteil auch, wenn ich in Hauptachsen mich befinde. Man kann das so machen.

Aber die ganze Sache vereinfacht sich stark, wenn man Hauptachsen hat.

Das ist auch der Grund, warum man die halt immer sucht.

Wenn ich nämlich folgendes habe, dass y und z Hauptachsen sind, dann verschwindet das Iyyz.

Ist 0 und die Gleichung wird deutlich einfacher.

Mx von x Yz ist dann nämlich nur noch My von x durch Iyy mal z.

Das Iyyz ist 0, das heißt, dass der Term fällt weg. Das hier fällt weg.

Dann kann ich das Izz gegen das Izz kürzen und es bleibt nur noch das übrig.

Das ist eine sehr einfache Gleichung.

Das heißt, diese Spannungsbeziehung ist, wenn ich sie in Hauptachsen oder das Granatensystem so wähle, dass ich mich in Hauptachsen befinde, sehr viel einfacher.

Das ist also der Grund, warum man an diesen Hauptachsen interessiert ist.

In dem Fall entkoppelt sich das auch. Ich habe hier einen Anteil, der nur von dem My abhängt.

Und additiv dazu einen Anteil, der nur von dem Mz abhängt.

Hier steht das irgendwie zusammendrin und hier nochmal die Differenz jeweils.

Das ist also ein bisschen unschön oder aufwendiger zu rechnen.

Jetzt interessiert man sich häufig hier für die Lage der sogenannten neutralen Ebene oder neutralen Faser.

Also die Linie im Querschnitt, bei dem die Spannungen gerade 0 sind.